teorema divergensi

Karena namanya teori divergen, mau ga mau kita harus kenal dulu dengan apa yang disebut divergensi.

Kalau kita sudah mengenal gradien, berarti kita sudah kenal sebagian wajah dari divergensi. Pertama-tama, misalkan diketahui suatu fungsi 

.

Cat : fungsi F dalam koordinat kartesian dan ini merupakan fungsi skalar meskipun fungsi dalam x, y Sekarang kita hitung gradien dari fungsi diatas



Nah sekarang saya tulis apa yang dimaksud dengan divergen ? Mirip2 koq, sekarang ambil contoh sebuah vektor

 

 Jadi apa bedanya ?  Sederhananya, gradien dari suatu fungsi skalar menghasilkan suatuvektor (orde 1). Sedangkan divergen dari suatu vektor menghasilkan skalar (orde 0). Perlu diingat bahwa proses diatas seluruh perkalian diatas menggunakan produk skalar alias dot product.

Kalau mau tau lebih jauh silakan nonton tutorial berikut dari MIT open course yang disajikan dalam bahasa inggris dengan durasi 1 jam.

Teori Divergensi Gauss-Ostogradsky

Bunyi hukum ini dalam bahasa non matematis adalah sbb : Seluruh flux dari permukaan benda dengan permukaan tertutup sama dengan integral volume dari divergen seluruh daerah didalam volume tersebut.

Secara matematis :

Bagian sebelah kiri persamaan diatas merupakan nilai skalar dari flux pada integral tertutuptertentu. Fungsibisa apa saja, misalnya fungsi tegangan di permukaan bola seperti gambar diatas. Dimana bola memiliki suatu permukaan yang tertutup.

Pada contoh kasus tersebut, nilai penjumlahan nilai vektor tegangan di seluruh permukaan bola, sama dengan divergensi dari fungsi teganganpada integral volume bola tersebut.

Ini sebenarnya hal sederhana dan logis, hanya perlu sedikit waktu untuk membayangkan makna fisiknya. Persamaan ini nanti akan sangat bermanfaat, karena dalam banyak kasus kita harus mengubah persamaan yang kita miliki dari bentuk integral bidang ke integral volume atau sebaliknya.